Entenda a Esfera de Bloch

A Esfera de Bloch é uma forma de visualizar qubits, conforme exemplo abaixo. Ela pode ser muito útil para entender a ação de portas lógicas quânticas, entre outras aplicações.

Porém, ela é muita confusa. Nunca entendi direito, e este artigo tem o objetivo de explicar detalhadamente a mesma. É um artigo longo, porque há muitos detalhes.

Há três pontos de grande confusão:

– Por que estados ortogonais estão representados em 180 graus?

– Por que preciso de duas variáveis ao invés de 4?

– Por que o ângulo theta é dividido por 2?

Explicando um pouco melhor. Na minha cabeça, a imagem mais ingênua que deveria vir à cabeça é algo assim, um segmento de um círculo.

O 0 estaria num eixo, o 1 num eixo ortogonal, e o psi numa combinação entre eles.

\psi = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle 

Porém, esta figura não representa de verdade o que pode ocorrer, porque os valores alfa e beta são complexos, não são reais! Estamos jogando fora toda a valiosa diferença de fase, que é em última instância o “tempero mágico” da brincadeira.

Vamos separar a explicação em alguns tópicos, para organizar o pensamento.

Porque são necessárias apenas duas variáveis, ao invés de 4?

O valor psi necessita de dois números complexos, alfa e beta.

Se cada número complexo tem uma parte real e imaginária, a princípio temos quatro variáveis. Como é que são necessárias duas variáveis na esfera de bloch?

Dando a resposta, uma variável morre quando impomos a restrição de normalização:

|\alpha |^2 + | \beta | ^2 = 1

Outra variável morre quando desprezamos a fase global, ficando assim com duas variáveis.

Vamos detalhar esses pontos.

Por que a fase global não tem influência?

Fazendo uma analogia, digamos que eu queira sair de casa e caminhar até a padaria.

O que me interessa é a posição relativa entre a minha posição e o destino.

Porém, a rigor, podemos falar que o planeta Terra está girando, e a cada instante, a minha posição é modificada em relação ao centro da Terra. O mesmo ocorre com a padaria, que tem a cada instante a posição modificada pela rotação da Terra.

A rigor, a rigor de verdade, teríamos que considerar a relatividade geral de Einstein, onde não há um tempo e espaço absolutos, e o meu tempo de deslocamento deveria ser corrigido pela velocidade minha e da Terra…

Portanto, a fase global afeta igualmente ambos termos da equação, e pode ser eliminada.

Matematicamente, podemos isolar a fase global usando os números complexos em notação polar:

| \psi \rangle = r_a e^{i\phi_a} |0 \rangle + r_b e^{i\phi_b} |1 \rangle

onde

i = \sqrt{-1}

Podemos isolar o fator de fase global e deixar apenas a fase relativa:

| \psi  \rangle = e^{i\phi_a} (r_a  |0 \rangle + r_b e^{i (\phi_b - \phi_a)} |1 \rangle)

Podemos chamar a diferença phi_a – phi_b apenas de phi, para facilitar a notação, e jogar fora a fase global, conforme explicado anteriormente.

| \psi \rangle = (r_a  |0 \rangle + r_b e^{i \phi} |1 \rangle)

Continua na próxima postagem abaixo:

https://informacaoquantica.wordpress.com/2019/09/03/entenda-a-esfera-de-bloch-parte-2/


Ideias técnicas com um pouco de filosofia

https://ideiasesquecidas.com/

https://informacaoquantica.wordpress.com/

4 comentários sobre “Entenda a Esfera de Bloch

  1. Pingback: Entenda a Esfera de Bloch – parte 2 – Computação e Informação Quântica

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